再入国許可（みなし再入国許可を含む。）で出国中に旅券・在留カードをなくしてしまった場合、大使館でパスポートが発行できたとしても、そこに押されていた証印は無いままですよね。
紛失じゃなくても、新パスポートを作ったら、古いパスポートは回収されてしまったなんてこともあります。
現在なら、在留カードがあれば、パスポートに在留資格や再入国許可の証印がなくても、在留資格があること、出国から1年以内なら、日本にその在留資格で再入国できることはわかります。
そうすると、この問題が発生するのは、日本国外において、両方紛失したような方ということになります。
その状態から、ご自身が再入国できる人だと証明するには、日本にいる同居親族や、本人から委任状を渡した代理人から、地方入国管理局等に『再入国許可期限証明願』を提出してもらう必要があります。
そうして発行された『再入国許可期限証明書』を、本人がいる現地の大使館に提出する必要があります。
データでわかるだろ？ っておっしゃる方もいますが、大使館（外務省）と、出入国在留管理局（法務省）は別物で、一部においては共有している情報もあるのでしょうが、日本の省庁は原則、横のつながりは無いので、書面にてやり取りする必要があります。
私の父は、別の手続きで「データでわかるだろ！！」って役所でキレた結果、私について、それが原因で年金の未加入期間が発生しました（涙）。
在留資格が失われるのに比べたら、かわいいものではありますが、そういうことがあるので、在日親族の方は協力してあげてください。